第53章 刚才我算到哪来了

  反覆读了好几次题目，林知远才开始在草稿纸上推导，

  第一问还算比较简单，只需要利用復根法，考虑 x^{2n}-1=0的根w_k=e^{πik/n}，则sin(kπ/2n)=iwk?1i/2，然后通过分解 x^{2n}-1=(x^n-1)(x^n+1)，提取与gcd(k，n)=1对应的因子，就能得到f(n)=2^?φ(n)。

  花了二十多分钟，做完第一问，林知远只觉得神清气爽，挺直了腰背，在原地得意了好一会儿，这才看向第二小问。

  这一次，他思考了一会儿，然后开始动笔，利用x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+……+ 1)，令x=1得到p=n_{k=1}^{p?1}i1?e^{2πik/p}i，只需要將这个式子换成正弦表示，就能得到第二问的结果。

  做完这道题，林知远额头上已经冒出了几滴细密的汗珠，就连他也感到有些吃力了。

  “看得出来，今年这题还真是北大的老师出的!”

  林知远在心中腹誹，这难度，跟他去年做的完全不一样了，如果不是去年经过cmo的磨礪，又多学习了一年，他恐怕也会在这道题上栽跟头。

  他下意识的往回看了眼，可惜他的位置因为角度问题，看不到后方的陈末和邱明远，他也不好做得太过分，否则被监考老师认为是作弊，那可就没地说理了。

  但他不用看也知道，那两个傢伙必定也被这道题困住了。

  没有耽搁时间，他看向了第三小问。

  经过一番推导后，林知远很快来了灵感。

  “只需要利用容斥原理，將f(n)写成f(n)=n_ding(d)^μ(d)的形式，g(d)是某个已知乘积，然后代入计算……”

  嘴里念念有词，林知远眼睛越来越亮，双手运行如飞，在草稿纸上写下一行又一行的推导过程。

  哗哗哗……

  一连写了好几张草稿纸，林知远还没能算出结果，这个证明过程需要大量代数运算和分类討论。